高二微積分學習方法

時間:2019-11-06 11:22:56

  部分高二學生會為數學微積分的學習感到頭痛,不知道大家有沒有掌握好的學習方法呢?以下是小編整理好的學習,希望可以提供給大家參考和借鑒。

  一、學習高等數學,首先要理解知識間的必然聯系,在頭腦中形成一個知識網絡。

  《高等數學》(一)微積分教材共有八章,涉及極限、微分、積分、級數、微分方程等方方面面的知識,需要理解、記憶、掌握、熟練運用大量的定理與公式。這就要求學習者在學習的過程中,理清思路,弄清整本教材的脈絡。

  該課程的核心是微積分,圍繞這一核心,需要了解作為微積分研究對象的一元函數和多元函數的概念。極限理論和方法是微積分建立,無窮級數學習的基礎,因而極限論成為重要的基礎內容。而微分方程則是微積分的一個應用,它與微積分有著密切的聯系。從這些方面來看,雖然函數、極限、微分、積分、無窮級數、微分方程各自有各自的特點,但它們又是一個密不可分的整體。為此,在學習的過程中,應該掌握好每一塊內容的重點和要點,由點帶動面的學習,由局部帶動整體的理解。

  二、學習高等數學時,注意多歸納、勤總結。

  歸納總結能幫助學習者將一些比較分散的知識集中起來,做到對某一方面的知識有一個全面、深入的了解,這樣在解決問題時,頭腦中會形成更多的思路,找到更多的解題方法。

  下面是對極限求法的一個歸納總結,以此說明歸納總結的重要性,同時也希望能對學習者起到一個拋磚引玉的作用。

  求數列或函數極限,是高等數學里的一類基礎而重要的問題。常見的求法歸納起來有如下幾種:

  1.先估計數列或函數的極限值,而后利用定義進行驗證,這是求極限的最基本的方法,可用于求一些簡單的極限。

  2.利用有限個函數的和、差、積、商以及復合函數求極限的運算法則求極限,可以使一些復雜的極限計算問題得到簡化。

  3.利用無窮小的性質求極限。這主要包括:

 、儆邢迋無窮小的和(差、積)仍是無窮小。

 、谟薪绾瘮蹬c無窮小的乘積仍是無窮小。

 、鄯橇銦o窮小與無窮大互為倒數。

 、艿葍r無窮小代換。當求兩個無窮小之比的極限時,分子與分母都可用等價無窮小代替。正因為等價無窮小的這一性質,所以在求極限時,可以簡化計算,減少運算量,快速地解決問題,起到事半功倍的效果。要用好此性質,當然需要適當掌握一些等價的無窮小量。

  4.兩個重要極限及其推廣形式 (這里f(x)為一自變量同一變化過程中的無窮小量)。

  5.利用準則I(兩邊夾法則)和準則Ⅱ(單調有界數列必有極限)求極限。

  6.利用洛必達法則求0/0型,(無窮)/(無窮)型,0,無窮,無窮-無窮,0的0次方,1的無窮次方,無窮的0次方型函數極限。

  需要說明的是,求函數極限的方法很多,到底用哪一種方法簡單,這需要具體問題具體分析。有時對一個問題,我們需要兩種或兩種以上的方法才能簡便、快捷地計算出結果。同時運用洛必達法則和等價無窮小代換,可以大大減少計算量,同時也減少了出錯的可能。

  三、學習高等數學,注意自始至終要做到學習與思考相結合。

  整個學習的過程就是思考的過程。我們在中學就知道,“學而不思則罔,思而不學則殆”的道理。這句話提醒我們只有把學習與思考結合起來,才能不斷發現問題,有所收獲。遇到一些典型問題要多加考慮,追根溯源,這樣不管問題如何變化,都能做到游刃有余。

  對于有些函數在高等數學里被稱為變上、下限的積分函數。這類函數在極限問題和微分問題中是常見的,由于該函數較為抽象,學習和理解起來難度相對來說大一點。教材中已給出當積分上限為變量x時,有公式,我們可以進一步考慮到當積分下限為變量x時,應該有對應的公式成立。再往深處思考,我們還能想到當積分上限為變量x的函數b(x),積分下限為變量x的函數a(x)時,應該有更相對應的公式成立。通過思考若能掌握這些要點,那么再次遇到有關變上、下限的積分函數的問題,都可輕松解決了。

  四、學習高等數學時,還要多加注意問題與問題之間的聯系,做到自覺靈活地分析和解決問題。

  對于1/x的不定積分,其一個原函數為lnx,這是一個大家都很熟悉的公式,再有我們還熟知f(x)導數的不定積分=f(x)+c。如果將這兩個知識點聯系起來,便可組成一個求解不定積分的問題。解決不定積分的根本出路是用公式積分,教材中列出了13個基本積分公式。但直接套用公式的積分問題是很少的。我們所遇到的大多數問題與積分表中所列公式存在差異,因此求解不定積分的基本方向是改變被積分的形式,從而達到能夠運用基本積分公式的目的。于是教材中列出了三種常用的基本積分法。一是直接積分法;二是換元積分法,具體地又分為第一換元法(又稱為湊微分法)和第二換元法;三是分部積分法。積分時選用哪一種方法,這就要根據題目的特點來定,當然學習者平時的經驗積累與敏銳的觀察力也是必不可少的。就此例來說,被積函數中含有1/x和lnx,聯系它們之間的關系,我們可選用換元法中的湊微分法,將(1/x)dx寫成d(lnx),此類問題即可迎刃而解。

  五、學習高等數學,日常練習是必不可少的。

  通過練習,一方面可以回顧、鞏固所學知識,另一方面還可以總結解題的關鍵和思路。但做練習也要適度,不必沿襲中學的題海戰術,練習時盡量找有代表性,少而精的題目。

  比如,分段函數是高等數學里一類基礎卻重要的函數為例。所謂分段函數是指在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同式子來表示的一個函數。分段函數的定義雖然簡單,但我們可以利用它聯系起來起很多知識。

  如已知一分段函數,求:①函數的定義域;②f(1),f(0),f(-3/2),f(1/2);③研究函數在間斷點處的連續性與可導性;④求積分f(x)在某個范圍的定積分。

  通過練習此題的①②④,可以幫助我們深入理解分段函數的定義。對于③的求解,需要用到左、右連續和左、右導數的定義以及函數在某一點處連續和可導的充要條件。更多地,我們從中還可找出函數極限存在、連續與可導之間的密切關系?芍^是一舉多得。

  六、學習高等數學,講究循序漸進,不可急于求成。

  這是因為任何知識的學習都需要一定的消化過程,高等數學更是如此。學習者應根據自己的實際能力選擇一個適當的學習進度。不要一味地追求速度,而忽略了學習的效果,也不要因為某一方面的問題不能解決而放棄學習或停止不前。最好的學習方法是邊學習邊復習。不斷地學習能幫助我們吸收新的知識,而有計劃的復習能鞏固知識,深化知識,達到對知識的深入理解。在學習過程中遇到各種各樣的問題是在所難免的,如果實在不能掌握該問題,建議大家不妨暫時把問題分成一系列小的問題,然后去復習、回顧那些與此相關的基礎知識,采取各個擊破的方法排疑解難,直到最終解決該問題。比如說,在微分學一章中,以求多元抽象復合函數的高階導數最為困難。為了克服這一難關,學習者最好先打牢有關的基礎,如:什么是多元函數?復合函數以及多元復合函數的含義是什么?什么樣的函數為抽象函數?怎樣正確做出多元復合函數的求導鏈?如何理解多元抽象復合函數的一階導數?解決好這些問題,會對我們掌握好多元抽象復合函數的高階導數起到關鍵的作用。

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